Exponential- & Logarithmusgleichungen

Jetzt steht die Unbekannte im Exponenten — oder im Logarithmus. Die Strategie hängt von einer einzigen Frage ab: Lassen sich beide Seiten auf dieselbe Basis bringen?

Exponentialgleichungen

Fall 1 — gemeinsame Basis. Dann genügt ein Exponentenvergleich, ganz ohne Logarithmus.

$2^{\,x+1} = 8 = 2^3 \;\Rightarrow\; x + 1 = 3 \;\Rightarrow\; x = 2$

Fall 2 — keine gemeinsame Basis. Dann logarithmierst du beide Seiten und holst den Exponenten mit dem Potenzgesetz herunter.

$3^{\,x} = 20 \;\Rightarrow\; x = \log_3 20 = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.73$

Trick — Substitution. Taucht die Basis quadratisch auf, wird es mit einer Ersetzung zur quadratischen Gleichung. Bei $5^{2x} - 6 \cdot 5^{x} + 5 = 0$ setze $u = 5^{x}$ (beachte $5^{2x} = (5^x)^2 = u^2$):

$u^2 - 6u + 5 = 0 \;\Rightarrow\; (u - 5)(u - 1) = 0 \;\Rightarrow\; u = 5 \text{ oder } u = 1$

Zurück: $5^x = 5 \Rightarrow x = 1$ und $5^x = 1 \Rightarrow x = 0$. Beide gültig, da $u > 0$.

Logarithmusgleichungen

Erst mit den Logarithmusgesetzen zu einem Logarithmus zusammenfassen, dann entlogarithmieren. Und: das Argument eines Logarithmus muss positiv sein — also Definitionsmenge notieren und am Ende prüfen.

Musterbeispiel. $\;\log(x) + \log(x - 3) = 1$ (Basis 10), Definitionsmenge $x > 3$.

$\log\big(x(x-3)\big) = 1 \;\Rightarrow\; x(x-3) = 10 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 10 = 0 \;\Rightarrow\; (x-5)(x+2) = 0$

Kandidaten $x = 5$ und $x = -2$. Wegen $x > 3$ bleibt nur $\boxed{x = 5}$.

Übung 1

a) $\;2^{\,3x} = 32$

b) $\;5^{\,x} = 40$ (auf zwei Nachkommastellen)

c) $\;\log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3$ (Definitionsmenge!)

d) $\;4^{\,x} - 5 \cdot 2^{\,x} + 4 = 0$ (Substitution)

Das nimmst du mit

• Gemeinsame Basis? Exponenten vergleichen. Sonst: logarithmieren.
• Basis quadratisch? Substituieren $\to$ quadratische Gleichung.
• Logarithmusgleichung: zuerst zu einem $\log$ zusammenfassen, Definitionsmenge ($\text{Argument} > 0$) prüfen.